1.7 Vectores y Álgebra Vectorial

Has tenido ocasión de comprobar en el pasado la utilidad del álgebra vectorial. Esta utilidad radica en que hay muchísimas magnitudes físicas que tienen intensidad (o módulo) y dirección, como por ejemplo la velocidad o la fuerza. Los vectores se usan para representar las magnitudes de este tipo, y el álgebra de vectores para manejarlas y hacer cálculos con ellas.

Según convenga para el propósito particular, se usan vectores de distintos tipos:

1. Vector deslizante. Puede considerarse en cualquier posición dentro de una recta ("recta de acción"). Dos vectores de igual módulo y sentido sobre la misma recta, son el mismo vector deslizante.
2. Vector ligado. Está asociado a un determinado punto del espacio (punto de aplicación).
3. Vector libre. no se considera asociado a ningún punto ni recta particular.

Circunstancialmente puede convenir considerar el vector libre de igual módulo y dirección que un vector ligado (o deslizante). Decimos que se trata del "vector libre asociado" al vector ligado (o deslizante). Decimos que dos vectores son "equipolentes" si tienen el mismo vector libre asociado.

Las operaciones más comunes con vectores son las siguientes:

Adición de vectores.

Producto de un vector por un escalar.

Producto escalar de dos vectores.

Producto vectorial de dos vectores.

Sin duda recordarás la definición de estas operaciones, y sus expresiones en función de unas componentes cartesianas de los vectores. Si no es así, conviene que repases las fuentes oportunas de las asignaturas de matemáticas.

En principio, esas operaciones se definen para vectores libres, aunque pueden definirse para vectores deslizantes o ligados bajo ciertas circunstancias. Por ejemplo, la adición de vectores deslizantes está definida si las rectas de acción de los vectores pasan por un punto.

Un sistema de vectores es un conjunto cualquiera de vectores del mismo tipo. Por tanto, hay sistemas de vectores ligados, deslizantes y libres. Siempre hay que tener en cuenta que el uso de uno u otro tipo de vectores está en función de su utilidad para el problema en consideración.

MOMENTO DE UN VECTOR DESLIZANTE

La Teoría clásica de la Elasticidad que se estudia en la asignatura, presupone el estado de equilibrio del sólido analizado, y por tanto de cualquiera de sus partes. Como es sabido, a efectos del equilibrio, es indiferente que las fuerzas se apliquen en uno u otro punto, con tal de que se mantengan en la misma línea de acción. Por ello, el álgebra de vectores deslizantes es especialmente interesante en todos los problemas que involucren equilibrio de fuerzas. A continuación se reseñan algunos de sus conceptos básicos.

Momento de un vector deslizante v respecto de un punto O.

    M_o = OAxv = OBxv

Es un vector M_o que usualmente se considera ligado al punto O, aunque puede considerarse como libre. Véase la nota al final de esta página. Siendo A un punto cualquiera de la recta de acción, su valor se obtiene del producto vectorial OAxv. El resultado es independiente del punto que se elija sobre la recta de acción.

Momento de un vector deslizante respecto de una recta (r).

   M_(r) = (M_o.e)e = ((OAxv).e)e = ((O'Bxv).e)e = ...

Es un vector deslizante sobre la recta. Se obtiene proyectando sobre ella el momento respecto a uno de sus puntos O, siendo indiferente el punto O que se elija sobre la recta. Si es e un vector unitario sobre la recta, el valor del momento respecto de la recta viene dado por (M_o.e)e.

Una propiedad inmediata es que los momentos respecto de tres rectas que coincidan con unos ejes coordenados cartesianos, son las componentes (vectoriales) del momento respecto del origen de coordenadas:

 M_o = M_(r1) + M_(r2) + M_(r3)

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

Un sistema de vectores deslizantes es cualquier conjunto de vectores deslizantes, digamos v_i, con i=1...n, actuando en sus respectivas rectas de acción (r_i). Llamaremos A_i a un punto genérico en la recta de acción (r_i) del vector v_i.

Resultante de un sistema de vectores deslizantes.

Es un vector libre R que se obtiene como adición de los vectores libres asociados a los vectores del sistema:

R = v₁ + v₂ +...+ v_n = S v_i

Se le conoce también como primer invariante del sistema de vectores.

Campo de momentos de un sistema de vectores deslizantes.

En primer lugar se define el momento M_o del sistema de vectores respecto de un punto O, que se obtiene como la adición de los momentos de cada uno de los vectores del sistema respecto de O, y puede considerarse como un vector libre o ligado a O, según convenga.

M_o = S OA_i x v_i

El momento es diferente para cada punto del espacio O elegido, por lo que se engendra un campo de momentos. Conocido el momento respecto de un punto O, es inmediato hallar el momento respecto de otro punto O', que resulta ser:

M_o' = M_o + O'O x R

Que es la ecuación del campo de momentos.

ALGUNAS PROPIEDADES DEL CAMPO DE MOMENTOS DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES

1.- El momento respecto de dos puntos O y O' no varía si OO' es paralelo a R.

2.- Un sistema de resultante nula genera un campo uniforme de momentos.

Ambas son evidentes a la vista de la ecuación del campo de momentos.

3.- El producto escalar de la resultante por el momento en un punto es invariante respecto del punto elegido.

Se comprueba sin mas que multiplicar la ecuación del campo de momentos escalarmente por R, lo que produce  R.M_o' = R.M_o. Este producto escalar se denomina "segundo invariante" del sistema de vectores.

Otra manera de enunciar esta propiedad es que la proyección del momento respecto de cualquier punto sobre la dirección de la resultante es constante, como muestra la figura.

4.- El momento mínimo del sistema de vectores será paralelo a R, o bien nulo.

Con "momento mínimo" nos referimos al momento de menor módulo. La demostración es evidente a la vista de la propiedad 3 anterior: si la proyección de los momentos sobre R es constante, el menor módulo corresponde al momento paralelo a R. En la misma figura anterior se dibuja en negro el momento respecto de un cierto punto O (no mostrado), que por ser paralelo a R tendrá módulo menor que todos los demás, y será el momento mínimo aludido.

5.- El lugar geométrico de puntos de momento mínimo es una recta paralela a R.

Por la propiedad 1 enunciada, si O es un punto de momento mínimo, O' tendrá el mismo momento (por tanto mínimo), si se cumple que OO'sea paralelo a R. Se llama eje central del sistema de vectores a esa recta de puntos cuyo momento es mínimo.

IGUALDAD Y EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

Dos sistemas de vectores deslizantes son iguales si contienen exactamente los mismos vectores.

Dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si tienen el mismo campo de momentos.

Por ejemplo: Una condición necesaria y suficiente para que dos sistemas sean equivalentes es que tengan la misma resultante y el mismo momento respecto de un punto dado. Otra condición necesaria y suficiente es que tengan el mismo momento respecto de tres puntos dados.

REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES

Definición: Una reducción de un sistema de vectores es otro sistema de vectores que sea equivalente y resulte más sencillo de manejar.

Reducciones más típicas. El esquema siguiente muestra algunas de las reducciones más típicas según sean o no nulas la resultante y el momento mínimo.

R ¹ 0 (resultante no nula)

R.Mo ¹ 0 (momento mínimo no nulo)

Sistema más general. La reducción más sencilla es la resultante R aplicada en un punto O (ya sea del eje central o no), y el momento Mo en ese punto. O bien la resultante y un par que proporcione ese momento Mo.

R.Mo = 0 (momento mínimo nulo)

La reducción más sencilla es la resultante R aplicada en un punto del eje central.

R = 0 (resultante nula) El campo de momentos será uniforme.

M ¹ 0 (momento mínimo no nulo)

La reducción mas sencilla es el momento M aplicado en cualquier punto, o cualquier par de fuerzas que proporcione ese momento.

M ¹ 0 (momento mínimo nulo)

Se llama sistema nulo de vectores, por tener resultante y momento nulos.

Algunos casos particulares de reducción.

Un sistema de vectores paralelos siempre tendrá momento mínimo nulo. Puede entenderse razonando que R tendrá la dirección de los vectores, mientras que el momento de cada vector respecto de un punto dado será perpendicular a esa dirección (por ser un producto vectorial en que unos de los factores es el vector). La suma de todos los momentos será también perpendicular a esa dirección, evidenciando que el momento mínimo será nulo. Por tanto, lareducción más sencilla será la resultante aplicada en el eje central. Es el caso típico del peso de un sólido, consistente en una distribución continua de vectores fuerza diferenciales paralelos entre sí, que a efectos del equilibrio pueden reducirse a la resultante (peso total del sólido) aplicada en el eje central (que pasa por el centro de gravedad del sólido).

Un sistema de vectores coplanarios también tendrá siempre momento mínimo nulo. Puede verse razonando que R estará en el plano, mientras que el momento de cada vector respecto de un punto del plano será perpendicular al plano, y la suma de todos los momentos también lo será, evidenciando que el momento mínimo será nulo. Por tanto, la reducción más sencilla será la resultante aplicada en el eje central. Esto es aplicable a cualquier problema "bidimensional", entendiendo por ello que todas las rectas de acción de los vectores estén en el mismo plano, como representa el caso de la figura siguiente.

Un ejercicio de reducción.

La figura muestra una reducción de un cierto sistema de vectores deslizantes consistente en la resultante R aplicada en un punto O, y el momento Mo respecto de ese punto. Se ha tomado unos ejes cartesianos con centro en O y de forma que Mo y R están en el plano 1-3, y R coincide con el eje 3. Se pide representar aproximadamente, -sin cálculos-, el eje central.

Para trazar el eje central necesitamos un punto de momento mínimo, es decir paralelo a R. Sabemos que el eje central pasará por ese punto y será también paralelo a R.

Consideremos un punto B genérico. El momento respecto de B será 

M_B = M_o + BO x R

Si queremos que el momento en B sea paralelo a R debemos elegir B de tal manera que BO x R tenga la dirección del eje 1 y sentido opuesto, para que cancele la componente (positiva) de M_o sobre este eje 1. Como se aprecia en la figura siguiente, si tomamos B sobre la zona positiva del eje 2, el productoBO x R tendrá la dirección deseada. Su posición debe ser tal que |BO|.|R|=|M_o|senf. A falta de una escala en el dibujo, podemos responder que el eje central cortará al eje 2 en la zona positiva, y tendrá por tanto una apariencia como la dibujada. Se representa en verde la reducción del sistema consistente en la resultante aplicada en el punto B, y el momento en B.

NOTA SOBRE EL MOMENTO COMO VECTOR LIBRE

Anteriormente se apuntó que el momento podía considerarse como un vector ligado al punto respecto del que se calcula, o bien como un vector libre.

La primera opción parece la más natural, ya que el momento de un vector o sistema es función del punto. Existe por tanto de todas formas una "ligazón" (en sentido coloquial) entre el momento y el punto de cálculo. Pero en realidad, ello no implica necesidad de considerar el vector momento como ligado al punto (en el sentido del álgebra vectorial).

De hecho, puede razonarse que el momento (o un sistema equivalente a él, como un par), considerado él mismo como subsistema, tiene resultante nula, y por tanto genera un campo uniforme de momentos. Este campo uniforme tiene el valor del propio momento. Si elegimos representar (reducir) el sistema a un vector momento, es indiferente el punto de aplicación del mismo: el campo (uniforme) es exactamente igual. Por tanto, si lo que nos interesa es el campo de momentos, como en el caso de problemas de equilibrio de sólidos, no hay inconveniente en considerar al vector momento como un vector libre.

Usualmente, como en el ejercicio de reducción presentado en el epígrafe anterior, el momento se representa en su punto de cálculo. Pero podría situarse en otro punto cualquiera y el campo de momentos sería el mismo. La resultante en cambio debe situarse correctamente, ya que su posición sí afecta al campo de momentos.

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